用SymPy自动求解追及问题的方程 痛点场景还原假设做一个最经典的追及动画甲从原点出发速度 v12乙从 x10 处同向出发速度 v25问多久追上。如果用纯手工方式写Manimclass PainfulCatchUp(Scene): def construct(self): # 手动列方程并求解 # 设 t 为乙出发后的时间甲的位置2*(t?)乙的位置105*t # 如果同时出发2t 105t → t -10/3 负数无意义 # 改甲先出发2秒2(t2) 105t → 2t4105t → -3t6 → t-2 还是负 # 必须反复调整题设手算满足实际情况的初始条件 # 这里干脆让乙追甲甲在乙前面 # 甲在x10以v2向前乙在x0以v5同时出发 → 5t 102t → 3t10 → t10/3 v1, v2 2, 5 t_meet 10/3 # 手动解出的结果 meet_x 5 * t_meet # 再手动算相遇位置 # 甲和乙的轨迹只能硬编码 def pos1(t): return 10 v1 * t def pos2(t): return v2 * t # 然后创建动画……痛点很明显每次改变速度或初始距离都要重新手写方程、求解、算相遇坐标。题目条件稍微变化比如“甲先走1分钟”、“乙在中途休息”手算的过程就得全部推翻重来。容易在单位换算、正方向等细节上出错动画一旦跑起来发现不对排查起来也费劲。这些计算本质上就是根据文字描述建立代数方程并求解正是SymPy最擅长的事。2. SymPy 解决方案介绍SymPy可以让我们用符号把追及问题“翻译”成方程然后自动求解。import sympy as sp # 符号定义t 为乙出发后经过的时间 t sp.symbols(t, positiveTrue) v1, v2 2, 5 # 速度 s0 10 # 初始距离甲在乙前面10米 # 甲的位置先出发0秒即同时出发位置 s0 v1*t pos1 s0 v1 * t # 乙的位置从0开始位置 v2*t pos2 v2 * t # 相遇条件位置相等 eq sp.Eq(pos1, pos2) solution sp.solve(eq, t) # 输出: [10/3]如果甲先出发 2 秒方程只需改一下t_delay 2 # 甲早出发2秒 pos1 s0 v1 * (t t_delay) # 甲多走2秒 eq sp.Eq(pos1, pos2) solution sp.solve(eq, t) # 输出: [14/3]无论怎么变化我们只需要修改符号表达式的构建逻辑求解交给solve相遇坐标直接代入即可。接下来把这个思想嵌入Manim动画就能自适应任意追及条件。3. Manim 联动实战下面是一个完整的动画场景给定甲、乙的初始位置、速度和出发延迟自动计算相遇点并动态展示追及过程。from manim import * import sympy as sp class CatchUpLab(Scene): def construct(self): # 题目参数任意修改这里即可 v1 1.5 # 甲的速度 v2 2.5 # 乙的速度 init_gap 8 # 初始距离甲在乙前面 delay 1 # 甲早出发的时间 # SymPy 自动求解 t sp.symbols(t, positiveTrue) pos1_expr init_gap v1 * (t delay) # 甲的位置 pos2_expr v2 * t # 乙的位置 eq sp.Eq(pos1_expr, pos2_expr) t_meet sp.solve(eq, t)[0] # 精确解 meet_x float(pos2_expr.subs(t, t_meet)) # 相遇位置 # 为了动画流畅预先计算两个运动函数可以直接用lambda def pos1_func(time): return init_gap v1 * (time delay) def pos2_func(time): return v2 * time # 场景搭建 axes NumberLine( x_range[0, 30, 5], length8, include_numbersTrue, label_directionDOWN, ) self.play(Create(axes)) # 甲和乙的点 dot1 Dot(colorRED, radius0.2) dot2 Dot(colorBLUE, radius0.2) # 初始放置 dot1.move_to(axes.number_to_point(pos1_func(0))) dot2.move_to(axes.number_to_point(pos2_func(0))) self.add(dot1, dot2) # 标签 label1 Text(甲, colorRED).next_to(dot1, UP * 2) label2 Text(乙, colorBLUE).next_to(dot2, UP * 2) self.add(label1, label2) # 轨迹虚线预留 trace1 TracedPath(dot1.get_center, stroke_colorRED, stroke_width2) trace2 TracedPath(dot2.get_center, stroke_colorBLUE, stroke_width2) self.add(trace1, trace2) # 相遇点标记先隐藏等追到时再显示 meet_dot Dot(pointaxes.number_to_point(meet_x), colorYELLOW) meet_label Text(f相遇点: {meet_x:.2f}, font_size24, colorYELLOW) meet_label.next_to(meet_dot, UP * 1.5) # 动态更新的时间显示 time_text MathTex(t0.0).shift(UL * 2) self.add(time_text) # 追击动画 total_time float(t_meet) 2 # 多跑2秒 def update_dots(mob, alpha): # alpha 从0到1对应时间从0到total_time t_now alpha * total_time dot1.move_to(axes.number_to_point(pos1_func(t_now))) dot2.move_to(axes.number_to_point(pos2_func(t_now))) # 更新标签位置 label1.next_to(dot1, UP * 2) label2.next_to(dot2, UP * 2) # 更新时间显示 time_text.become(MathTex(ft{t_now:.1f}).shift(UL * 2)) # 判断是否到达相遇点 if t_now float(t_meet): self.add(meet_dot, meet_label) # 显示相遇标记 self.play( UpdateFromAlphaFunc( VGroup(dot1, dot2, label1, label2, time_text), update_dots, run_timetotal_time, rate_funclinear, ) ) self.wait(1)