线性算子 A 的迹为 A 的任意矩阵表示的迹

线性算子的迹为的任意矩阵表示的迹是线性代数中一个重要的基本事实线性算子的迹定义为它在某组基下的矩阵表示的迹且这个值与基的选择无关。下面分几个层次来看1. 迹的基本定义针对矩阵对于一个矩阵这是矩阵主对角线上元素的和显然和基无关——因为这里矩阵是给定的但我们现在讨论的是“线性算子的矩阵表示依赖于基”。2. 线性算子的矩阵表示依赖于基设是有限维线性空间上的线性算子。取的一组基则在此基下的矩阵​ 满足取另一组基过渡矩阵为即那么3. 迹与基无关的证明需要证明对任意方阵和可逆成立。证明交换求和顺序有限和而。所以因此对同一个线性算子取任何基得到的矩阵表示其迹相同。4. 几何/代数理解迹是线性算子的内蕴性质与坐标选择无关——就像行列式、特征多项式系数等一样。迹 特征值之和计代数重数设​ 是的特征值在中计重数则因为对任意基下的矩阵它的迹等于特征值之和而特征值与基无关。迹与双线性型无关只依赖于算子本身。迹可以看作的一个线性泛函满足这直接导致。5. 直观理解假设把空间拉伸或旋转迹大致反映了在每个方向上的平均“放大率”的和但注意方向耦合后可能为负或零。更直观地在某个特定基下迹是矩阵对角元之和。如果换成另一个斜的基对角元会变化但它们的总和保持不变。这是因为迹是“对换不变量”以及“相似不变量”的结果本质来自于矩阵乘法求迹的循环性。6. 总结“线性算子的迹为的任意矩阵表示的迹”这句话的意思是先选一组基写出矩阵算出换一组基再写矩阵算出的和之前一样。所以这个公共值可以称为“算子的迹”与基的选择无关。