【数学 代数学】无理数：\sqrt2和\pi 是无理数的证明 + 无理数集合的“非正则”性质（暂记）

证明2 \sqrt22​不是有理数假设它是有理数。那么它可以写成两个整数之比2 a b \sqrt2\frac ab2​ba​其中a , b a,ba,b是整数b ≠ 0 b\neq0b0并且分数已经约分到最简即gcd ⁡ ( a , b ) 1 \color{red}\gcd(a,b)1gcd(a,b)1两边平方2 a 2 b 2 2\frac{a^2}{b^2}2b2a2​移项a 2 2 b 2 a^22b^2a22b2a是偶数:一个整数平方是偶数那么这个整数本身也是偶数。b是偶数:将上边结论带回得到矛盾出现gcd ⁡ ( a , b ) ≠ 1 \color{red}\gcd(a,b) \neq 1gcd(a,b)1p i pipi是无理数的证明p i pipi是无理数的证明比2 \sqrt22​难很多很多。s q r t 2 sqrt2sqrt2的证明只需要整数奇偶性而p i pipi的无理性证明已经涉及微积分特殊函数.π \piπ是“分析学对象”,它来自极限历史上第一个严格证明是 Johann Heinrich Lambert 在 1761 年给出的。结论π ∉ Q \pi \notin \mathbb Qπ∈/Q证明思路Niven 证明经典版本由 Ivan Niven 给出。核心思想构造一个“既是整数又严格在 0 和 1 之间”的量。证明假设π \piπ是有理数π a b \pi\frac abπba​其中 a,b为整数。利用π \piπ性质构造矛盾然后选一个很大的整数 (n)构造函数f ( x ) x n ( a − b x ) n n ! f(x)\frac{x^n(a-bx)^n}{n!}f(x)n!xn(a−bx)n​这个函数有几个特点在区间[ 0 , π ] [0,\pi][0,π]上非负在端点 0 和π \piπ处为 0导数有很特殊的整数性质接着考虑积分I ∫ 0 π f ( x ) sin ⁡ x , d x I\int_0^\pi f(x)\sin x,dxI∫0π​f(x)sinx,dx通过反复分部积分可以证明I II是一个整数。但另一方面因为f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0f(x)≥0sin ⁡ x 0 , 在 ( 0 , π ) 内 \sin x0,在 (0,\pi) 内sinx0,在(0,π)内所以I 0 I0I0同时n足够大时0 I 1 0I10I1矛盾。因此π \piπ不是有理数。超越数Ferdinand von Lindemann 证明π \piπ不仅无理而且是超越数transcendental number。它甚至不是任何整数系数多项式的根。测度“实变函数和泛函分析”的课程中已经告诉我们有理数的测度为0。.现在考虑另外一个问题 “两个无理数相乘得到有理数”的那些点在整体里占多大测度多大答案是在二维平面里它们的 Lebesgue 测度是 0。也是极其稀少。设集合S ( x , y ) ∈ ( R ∖ Q ) 2 : x y ∈ Q S{(x,y)\in (\mathbb R\setminus\mathbb Q)^2 : xy\in\mathbb Q}S(x,y)∈(R∖Q)2:xy∈Q如果x y q xyqxyq其中q ∈ Q q\in\mathbb Qq∈Q,那么y q x y\frac qxyxq​对于每个固定有理数 (q)满足条件的点都落在曲线y q x y\frac qxyxq​上。而一条曲线在二维平面中的面积是 0 \color{red}一条曲线在二维平面中的面积是 0一条曲线在二维平面中的面积是0这是测度论基本事实。现在有理数集合Q \mathbb QQ是可数的。所以S SS是“可数条曲线”的并KaTeX parse error: Expected }, got \right at position 56: …y\frac {q}{x} \̲r̲i̲g̲h̲t̲}可数个零测集的并仍然是零测集。因此μ ( S ) 0 \mu(S)0μ(S)0或许无理数本身可以粗略看成另一个维度无理数集合的“非正则”性质通过以上定理可以发现无理数集合是“不规则”的。在数学中可以称作是非Regular (正则/规范)的。无理数集合 IR∖Q的性质“差很多”。不是群 既不是加法群也不是乘法群不对加法封闭不对乘法封闭没有单位元不是环环至少要求加法形成阿贝尔群更不是域域比环要求更强。只是“从实数里扣掉有理数剩下的部分”。数学里的 “补集”通常不会继承代数结构。无理数是不是相当于另一个维度的数据相比叫而言无理数大概率是是有理数非线性运算得到的。CG超越数到底超越了啥刘维尔超越数定理代数数的概念是18世纪伟大数学家莱昂哈德·欧拉德语Leonhard Euler1707年4月15日—1783年9月18日提出的。欧拉是首次将极限明确用来定义数学常数e ee的人代数数一篇文章 最反直觉的数学事实之一几乎所有的实数都是“超越数”能被证明的却没几个但是感觉这个并不反直觉。就像二维世界上弯曲的路比直的路多一样。主要是我们能定义的超越数比较少。还有评论任何代数数a和超越数b,ab都是超越数所以超越数显然不会比代数数少。欧拉的物理学成就:绞盘方程或皮带摩擦方程也称为欧拉-艾特尔魏因公式描述了使缠绕在圆柱体上并在其另一侧张紧的柔性绳索例如绳索、钢丝绳或皮带发生滑动所需的张力。 弯曲表面上张紧的柔性绳索会产生法向力和相应的摩擦力导致使绳索滑动所需的载荷大于保持其张紧所需的载荷。