电磁场：入门知识了解---矢量三重积、哈密顿算子、梯度

目录一、三重积1标量三重积先叉后点2矢量三重积先叉再叉二、位置矢量、分离矢量、微分位移矢量的区分1位置矢量2分离矢量3微分位移矢量三、梯度对标量场用哈密顿算子得到的矢量一、三重积在电磁学中三重积是应用十分广泛的数学工具在未来求解散度、梯度的方面有着至关重要的化简手段。而三重积分为标量三重积和矢量三重积其中前面的两个字表示三重积的结果是标量还是矢量。1标量三重积先叉后点标量三重积其实就是高等数学中的混合积它有着具体的几何含义平行六面体的体积所以他的结果是一个标量。这里可以参考我以前高等数学中写的笔记高等数学方向余弦、叉乘、混合积、平面的方程-CSDN博客2矢量三重积先叉再叉与标量三重积不同的是这里需要先对两个向量求叉乘后再用结果对第三个向量叉乘。即而矢量三重积有着十分重要的化简恒等式即BCA-CAB恒等式它在电磁学中用的极为广泛一定要牢记于心关于这里的化简也十分容易首先通过叉乘交换律的性质交换顺序需要改变符号此时式子就变成了普通的矢量三重积形式然后在这个基础上使用BCA-ACB法则化简即可。化简证明过程比较繁琐与高等数学中证明叉乘就是三阶行列式的方式是类似的需要不错的数学功底这里不再证明。关于矢量三重积可以这样理解原本已知两个向量B和C而且由B、C构成了一个平面Ω。现在首先让B和C进行叉乘得到Ω平面的法向量n。然后再引入一个随机的空间向量A让A与Ω作叉乘结果必定垂直于n即结果必定在Ω平面内。于是现在这个一个复杂的A×B×C的三重积就被“投影转化”到了平面Ω上至于结果就可以用平面上的向量B和向量C去合成了其中合成系数则是对方与A向量点乘得到的标量。矢量三重积可以认为是用了一种特殊的手法、规则将矢量A投影转换到了平面Ω上通过投影可以将原本复杂的叉乘运算变成简单的平面向量加减法。二、位置矢量、分离矢量、微分位移矢量的区分1位置矢量2分离矢量3微分位移矢量微分位移矢量比较简单就表示位置矢量的微小移动用dx、dy、dz替换原本位置矢量中的系数即可。三、梯度对标量场用哈密顿算子得到的矢量梯度Gradient是哈密顿算子▽作用在标量场上的运算它的作用是将一个标量场转换为一个矢量场。比如现在有一个电势函数F我们知道电势是一个标量场于是对其求梯度就得到了电场而电场是一个有方向的矢量场至此标量场就通过哈密顿算子转换为了矢量场。在梯度这里需要强调一个点只有标量场乘哈密顿算子才能得到梯度而矢量场经过哈密顿算子后会变成散度的概念这一点在后续文章中会进一步讲解。