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问题重述

• 问题背景：
  • 2024 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”），C 题是农作物的种植策略。根据乡村的实际情况，充分利用有限的耕地资源，因地制宜，发展有机种植产业，对乡村经济的可持续发展具有重要的现实意义。选择适宜的农作物，优化种植策略，有利于方便田间管理，提高生产效益，减少各种不确定因素可能造成的种植风险。某乡村地处华北山区，常年温度偏低，大多数耕地每年只能种植一季农作物。该乡村现有露天耕地 1201 亩，分散为 34 个大小不同的地块，包括平旱地、梯田、山坡地和水浇地 4 种类型。平旱地、梯田和山坡地适宜每年种植一季粮食类作物；水浇地适宜每年种植一季水稻或两季蔬菜。该乡村另有 16 个普通大棚和 4 个智慧大棚，每个大棚耕地面积为 0.6 亩。普通大棚适宜每年种植一季蔬菜和一季食用菌，智慧大棚适宜每年种植两季蔬菜。同一地块（含大棚）每季可以合种不同的作物。详见附件 1。根据农作物的生长规律，每种作物在同一地块（含大棚）都不能连续重茬种植，否则会减产；因含有豆类作物根菌的土壤有利于其他作物生长，从 2023 年开始要求每个地块（含大棚）的所有土地三年内至少种植一次豆类作物。同时，种植方案应考虑到方便耕种作业和田间管理，譬如：每种作物每季的种植地不能太分散，每种作物在单个地块（含大棚）种植的面积不宜太小，等等。2023 年的农作物种植和相关统计数据见附件 2。
• 表格数据：
  • 无
• 提取的各项问题：
  • 问题 1
    • 假定各种农作物未来的预期销售量、种植成本、亩产量和销售价格相对于 2023 年保持稳定，每季种植的农作物在当季销售。如果某种作物每季的总产量超过相应的预期销售量，超过部分不能正常销售。请针对以下两种情况，分别给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果分别填入 result1_1.xlsx 和 result1_2.xlsx 中（模板文件见附件 3）。
      (1) 超过部分滞销，造成浪费；
      (2) 超过部分按 2023 年销售价格的 50%降价出售。
  • 问题 2
    • 根据经验，小麦和玉米未来的预期销售量有增长的趋势，平均年增长率介于 5%~10%之间，其他农作物未来每年的预期销售量相对于 2023 年大约有±5%的变化。农作物的亩产量往往会受气候等因素的影响，每年会有±10%的变化。因受市场条件影响，农作物的种植成本平均每年增长 5%左右。粮食类作物的销售价格基本稳定；蔬菜类作物的销售价格有增长的趋势，平均每年增长 5%左右。食用菌的销售价格稳中有降，大约每年可下降 1%~5%，特别是羊肚菌的销售价格每年下降幅度为 5%。请综合考虑各种农作物的预期销售量、亩产量、种植成本和销售价格的不确定性以及潜在的种植风险，给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植方案，将结果填入 result2.xlsx 中（模板文件见附件 3）。
  • 问题 3
    • 在现实生活中，各种农作物之间可能存在一定的可替代性和互补性，预期销售量与销售价格、种植成本之间也存在一定的相关性。请在问题 2 的基础上综合考虑相关因素，给出该乡村 2024~2030 年农作物的最优种植策略，通过模拟数据进行求解，并与问题 2 的结果作比较分析。

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数据文件解读

• 数据文件1：附件1-乡村的现有耕地
  • 数据解读：
    • 数据内容总结：附件1-乡村的现有耕地数据文件以表格形式呈现，包含"地块名称""地块类型""地块面积/亩""说明"4个字段。其中，地块名称为各耕地的唯一标识（如A1、B1等）；地块类型包括平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚、智慧大棚6类；地块面积以亩为单位记录各具体地块的规模（如A1为80亩，普通/智慧大棚均为0.6亩）；说明列仅在A1地块中补充了关键信息，包括不同类型耕地的种植季数限制（平旱地/梯田/山坡地每年1季，水浇地1 - 2季，大棚每年2季）及智慧大棚的功能特点。需注意，表格中展示的内容为样例数据（如平旱地仅列A1 - A6，普通大棚列E1 - E16等），实际数据可能包含更多地块信息。
    • 数据的作用和意义：该数据是乡村耕地资源的基础信息，明确了不同类型耕地的数量、面积及种植季数限制，是制定2024 - 2030年种植策略的核心输入。例如，平旱地/梯田/山坡地的单季限制决定了其主要适配粮食类作物；水浇地的1 - 2季灵活性为水稻或蔬菜种植提供选择空间；普通大棚的"一季蔬菜 + 一季食用菌"适配性及智慧大棚的"两季蔬菜"特性，直接约束了大棚作物的轮作模式。此外，地块面积的分散性（如多个小面积地块）需结合田间管理便利性要求（如作物种植地不宜太分散），为优化种植方案提供约束条件。
• 数据文件2：附件1-乡村种植的农作物
  • 数据解读：
    • 数据内容总结与字段解释：附件1-乡村种植的农作物是一个包含作物基础信息的表格数据（仅为样例，非全量数据），包含5个字段：
      • 作物编号：唯一标识作物的序号（如1 - 41）；
      • 作物名称：具体农作物名称（如黄豆、小麦、大白菜、榆黄菇等）；
      • 作物类型：分为粮食（豆类）、粮食、蔬菜（豆类）、蔬菜、食用菌等子类；
      • 种植耕地：明确每种作物可种植的耕地类型及季节（如黄豆可种于平旱地、梯田、山坡地；豇豆可种于水浇地第一季、普通大棚第一季、智慧大棚第一季和第二季；大白菜仅可种于水浇地第二季等）；
      • 说明：补充了不同耕地类型的通用种植规则（如平旱地/梯田/山坡地单季种粮食；水浇地可单季种水稻或两季种蔬菜；普通大棚两季分别种蔬菜和食用菌；智慧大棚两季种蔬菜等），以及特殊作物的季节性限制（如大白菜/白萝卜/红萝卜仅能在水浇地第二季种植；食用菌仅能在普通大棚第二季种植等）。
    • 数据的作用和意义：该数据是制定种植策略的核心约束依据。一方面，通过“种植耕地”和“说明”字段明确了不同耕地类型（平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚、智慧大棚）的种植制度（单季/两季）、作物类型限制及季节要求，为模型中耕地 - 作物 - 季节的匹配提供了规则；另一方面，通过“作物类型”字段（尤其是豆类作物分类）为满足“三年内至少种植一次豆类作物”的政策要求提供了识别依据。此外，数据中对特殊作物（如大白菜、食用菌）的种植限制（如仅能在特定耕地的特定季节种植），直接影响种植方案的可行性。这些信息是解决问题1 - 3中优化种植策略的基础输入，确保方案符合实际种植条件和管理要求。
• 数据文件3：附件2-2023年的农作物种植情况
  • 数据解读：
    • 数据内容总结与结构说明：附件2-2023年的农作物种植情况数据为表格形式，包含6个字段：种植地块（如A1、B1、D1等，对应不同露天耕地或大棚）、作物编号（如6、7、17等，唯一标识作物）、作物名称（如小麦、玉米、刀豆等具体农作物）、作物类型（分为粮食、粮食（豆类）、蔬菜、蔬菜（豆类）、食用菌等）、种植面积/亩（具体种植规模，部分地块存在多季合种时面积拆分，如E15地块第一季分种0.3亩生菜和0.3亩油麦菜）、种植季次（单季、第一季、第二季，反映地块种植周期）。数据中部分种植地块（如D1、E1等）存在多季种植记录（第一季和第二季），符合问题背景中不同地块类型（如水浇地、普通大棚）可种植多季的描述；豆类作物（如黄豆、绿豆、豇豆等）的种植情况也被明确标注，与“三年内至少种植一次豆类作物”的要求相关。需注意，当前展示的数据仅为2023年种植情况的部分样例，并非全量数据。
    • 数据的作用和意义：该数据作为2023年的基础种植记录，为后续问题（尤其是问题1 - 3）的种植策略优化提供了关键输入。具体而言：① 作物类型和种植季次字段可用于明确不同地块的种植限制（如露天耕地的单季粮食种植、水浇地的两季蔬菜种植、普通大棚的蔬菜 - 食用菌轮作等），约束未来种植方案的季次分配；② 种植面积字段可反映当前各作物的种植规模，结合问题中“每种作物在单个地块种植面积不宜太小”的管理要求，为优化时的最小种植规模提供参考；③ 豆类作物的种植分布（如A4的黄豆、D5的豇豆等）可用于评估2023年豆类种植覆盖情况，辅助满足“三年内至少一次豆类种植”的政策约束；④ 重复作物的地块分布（如多个地块种植小麦、玉米）可反映当前主要作物的集中程度，为“种植地不宜太分散”的管理要求提供历史依据。总之，该数据是建模中约束条件设定、历史模式参考和优化目标校准的重要基础。
• 数据文件4：附件2-2023年统计的相关数据
  • 数据解读：
    • 数据内容总结与字段解释：附件2-2023年统计的相关数据为2023年该乡村农作物种植的统计信息（仅为样例数据，非全量数据），包含107条记录。数据结构包含8个字段：
      • 序号：记录的唯一标识（1 - 107），用于区分不同种植情况；
      • 作物编号：农作物的唯一编码（1 - 41），如1为黄豆、17为豇豆等；
      • 作物名称：具体农作物类型，涵盖豆类（黄豆、黑豆等）、粮食类（小麦、玉米等）、蔬菜（西红柿、茄子等）、食用菌（榆黄菇、羊肚菌等）；
      • 地块类型：包括平旱地、梯田、山坡地、水浇地、普通大棚、智慧大棚6类，对应不同耕地条件；
      • 种植季次：分为单季（如平旱地的黄豆）、第一季（如水浇地的豇豆）、第二季（如普通大棚的榆黄菇），反映不同地块的种植季节安排；
      • 亩产量/斤：2023年该作物在对应地块类型和季次下的每亩产量（如平旱地黄豆单季亩产400斤，智慧大棚黄瓜第二季亩产13500斤）；
      • 种植成本/(元/亩)：2023年该作物在对应地块类型和季次下的每亩种植成本（如平旱地黄豆单季成本400元/亩，普通大棚羊肚菌第二季成本10000元/亩）；
      • 销售单价/(元/斤)：2023年该作物的销售价格范围（如黄豆2.50 - 4.00元/斤，羊肚菌80.00 - 120.00元/斤）。
    • 数据的作用和意义：该数据是乡村制定2024 - 2030年种植策略的基础输入，为问题1 - 3的建模提供关键参数。具体而言：
      • 问题1需基于亩产量、种植成本、销售单价的稳定性，结合预期销售量计算收益，数据直接用于收益模型的构建；
      • 问题2需考虑亩产量（±10%波动）、种植成本（年增5%）、销售价格（粮食稳定、蔬菜年增5%、食用菌年降1% - 5%）等不确定性，数据作为基准值用于风险评估；
      • 问题3需分析作物替代性、价格与成本相关性，数据提供历史关联信息，支撑模拟数据生成和策略优化。此外，数据中不同地块类型与作物的匹配关系（如平旱地仅单季粮食、水浇地可两季蔬菜），为种植季次和地块分配约束提供依据。需注意，当前数据为样例，实际全量数据可能包含更多作物类型或更细粒度的统计信息。

摘要
本文围绕华北山区某乡村农作物种植策略展开研究，在考虑耕地类型、重茬轮作、豆类种植及田间管理等约束条件下，构建不同模型并采用相应算法求解，为乡村制定2024 - 2030年农作物最优种植方案。
针对问题一，在参数稳定的确定性环境下，以总利润最大为目标，针对超量部分浪费和超量部分按50%降价出售两种滞销场景分别建模。通过定义四维变量(x_{y,s,d,c})表示种植面积，构建耕地类型与作物匹配、重茬轮作、三年豆类种植及田间管理等约束条件，形成混合整数线性规划（MILP）模型。采用基于约束分解的混合整数线性规划（CD - MILP）算法，利用Gurobi等求解器得出最优种植方案。
针对问题二，考虑参数不确定性，如销量、产量、成本和价格的波动，在满足种植约束条件且控制尾部风险（保证95%概率满足约束）的前提下，以期望利润最大为目标。通过蒙特卡洛模拟生成随机场景，构建基于样本平均近似的随机混合整数规划（SAA - SMILP）模型。引入条件风险价值（CVaR）控制风险，使用Gurobi/CPLEX等求解器得到满足约束且最大化期望利润的最优种植面积。
针对问题三，在问题二基础上，考虑农作物间的替代性、互补性以及价格 - 销量 - 成本的联动关系，构建关联随机规划模型。运用基于Copula - SEM的关联随机规划（CS - ARP）算法，通过结构方程模型（SEM）估计相关性参数，利用Copula函数生成关联场景，在随机规划框架下优化种植策略。求解混合整数线性规划（MILP）模型实现期望利润最大化，并与问题二结果对比分析相关性对利润、种植结构和风险的影响。
最后，对所建模型进行评价。模型充分考虑多种实际因素，为乡村提供了科学的种植策略，但可能存在对复杂现实情况刻画不够精准等局限。未来可进一步优化模型，考虑更多复杂因素，提高模型的适应性和准确性。模型在类似地理和农业条件的乡村具有推广应用价值。
关键词：农作物种植策略；混合整数线性规划；随机规划；相关性建模；风险控制